ยูคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria)
ยูคลิดเป็นนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญ และเป็นที่รู้จักกันดี ยูคลิดเกิดที่เมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอิยิปต์ เมื่อราว 365 ปี ก่อนคริสตกาล มีชีวิตอยู่จนกระทั่งประมาณปี 300 ก่อนคริสตกาล สิ่งที่มีชื่อเสียงคือผลงานเรื่องThe Elements
ผลงานของยูคลิดเป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวางมาก และกล่าวกันว่าผลงาน The Elements เป็นผลงานที่ต่อเนื่อง และดำเนินมาก่อนแล้วในเรื่องผลงานของ นักคณิตศาสตร์ยุคก่อน เช่น เธลีส (Thales), ฮิปโปเครตีส (Hippocrates) และปีทาโกรัส (Pythagoras) อย่างไรก็ตาม หลายผลงานที่มีในหนังสือนี้เป็นที่เชื่อกันว่าเป็นบทพิสูจน์และผลงานของยูคลิดเอง ผลงานของยูคลิดได้รับการนำมาจัดทำใหม่ และตีพิมพ์เผยแพร่ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1482หลังจากนั้นมีผู้นำมาตีพิมพ์อีกมากมายนับจำนวนครั้งไม่ถ้วนหลัก การหา ห.ร.ม.ที่ง่ายที่สุดและรู้จักกันดีจนถึงปัจจุบันคือ ให้นำตัวเลขจำนวนน้อยหารตัวเลขจำนวนมาก เศษที่เหลือมาเทียบกับเลขจำนวนน้อย จับหารกันไปเรื่อย ๆ ทำเช่นนี้จนลงตัว ได้ ห.ร.ม. คือ ตัวเลขตัวสุดท้ายที่นำไปหารได้ลงตัว
ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
การหา ห.ร.ม. โดยขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด
การหา ห.ร.ม. ของจำนวนนับที่มีค่ามาก ก่อให้เกิดความยุ่งยากในการแยกตัวประกอบ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Euclid of Alexandria ได้คิดค้นวิธีหา ห.ร.ม. อีกวิธีหนึ่ง ปัจจุบันเรียกวิธีนี้ว่า ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด ทำได้โดยตั้งหารทีละคู่ โดยนำจำนวนน้อยไปหารจำนวนมาก ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ให้นักเรียนพิจารณา การหา
ห.ร.ม. ของ 362 และ 684 โดยใช้ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด
1
362 )
684
362
322
|
|
เขียนเป็นขั้นตอนวิธียูคลิด
|
362
เป็นตัวหารตัวที่หนึ่ง เศษที่ได้ คือ 322
ขั้นที่ 2 หารจำนวน 362 ด้วย 322 ที่เป็นเศษในขั้นที่ 1
1
322 ) 362
322
40
|
|
เขียนเป็นขั้นตอนวิธียูคลิด
|
322 เป็นตัวหารตัวที่สอง เศษที่ได้ คือ 40
8
40 ) 322
320
2
|
เขียนเป็นขั้นตอนวิธียูคลิด
|
|
40
เป็นตัวหารตัวที่สาม เศษที่ได้ คือ 2
20
2 ) 40
40
0
|
เขียนเป็นขั้นตอนวิธียูคลิด
|
|
การหารในครั้งนี้ลงตัวจึงเป็นอันสิ้นสุดการหารและจะได้ตัวหารตัวสุดท้ายคือ
2
เป็น ห.ร.ม. ของ 362
และ 684
8
|
|
ตัวอย่างที่ 1
จงหา ห.ร.ม. ของ 420 และ 865
|
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 420 และ
865 คือ 5
ตอบ 5
สำหรับ
การหา ห.ร.ม. ของจำนวนนับสามจำนวนสามารถใช้หลักการเดียวกัน
คือ
1.
หา ห.ร.ม. ของสองจำนวน ส่วนใหญ่จะหา ห.ร.ม.
ของสองจำนวนที่มีค่ามาก
2.
หา ห.ร.ม. อีกครั้งของจำนวนที่เหลือ
กับ ห.ร.ม. ที่หาได้ในข้อที่ 1 โดย ห.ร.ม. ที่หาได้ในข้อที่ 2 จะเป็น
ห.ร.ม. ของทั้งสามจำนวน
ดัง
ตัวอย่างที่ 2 และ ตัวอย่างที่ 3
|
9
|
วิธีทำ เราเลือก 602 และ 774 มาหา ห.ร.ม. ก่อน
เพราะเป็นจำนวนที่มีค่ามาก ใช้ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด
ในหารหา ห.ร.ม. ดังนี้
|
จะได้ ห.ร.ม. ของ 602 และ 774 คือ 86
หา ห.ร.ม. ของ 86 และ 129 เนื่องจากจำนวนทั้งสองมีค่าไม่มากนัก
การหา ห.ร.ม. อาจใช้วิธีแยกตัวประกอบมาช่วย ดังนี้
86 =
2 x 43
129 = 3 x
43
ดังนั้น
ห.ร.ม. ของ 86 และ 129 คือ 43
นั้นคือ
ห.ร.ม. ของ 129, 602 และ 774 คือ 43
ตอบ 43
ตัวอย่างที่ 3 จงหา ห.ร.ม.
ของ 786, 917 และ 1,048
วิธีทำ
หา ห.ร.ม. ของ 917 และ 1,048 โดยใช้ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด ดังนี้
|
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 917 และ 1,048 คือ 131
หา
ห.ร.ม. ของ 131 และ 786 โดยใช้ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด
ดังนี้
|
ดังนั้น ห.ร.ม.
ของ 131 และ 786 คือ 131
นั้นคือ
ห.ร.ม. ของ 786, 917 และ 1,048 คือ 131
ตอบ 131
10
|
ทบทวน
การหา ค.ร.น.
โดยใช้วิธีแยกตัวประกอบ
จงหา ค.ร.น. ของ 5, 15, และ 40
15 = 5
x 3
40 = 5
x 2 x 2 x 2
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 5, 15, และ 40 คือ 5 x 3 x 2 x 2 x 2 = 120
ตอบ ค.ร.น. ของ 5, 15, และ 40 คือ 120
การหา ค.ร.น.
โดยใช้วิธีตั้งหาร
จงหา ค.ร.น. ของ 5, 15, และ 40
|
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 5, 15, และ 40 คือ 5 x 2 x 1 x 3 x 4 = 120
ตอบ ค.ร.น. ของ 5, 15, และ 40 คือ 120
นอกจากนี้เรายังสามารถหา ค.ร.น.
ของจำนวนนับสองจำนวนจากการนำ ห.ร.ม. มาใช้ในการหา ค.ร.น. โดยใช้สูตรดังนี้
ค.ร.น. ของสองจำนวนที่กำหนด
|
|
11
|
วิธีทำ
หา
ห.ร.ม. ของ
244 และ 427 โดยใช้ขั้นตอนแบบยูคลิด
|
ดังนั้น
ห.ร.ม. ของ 244 และ 427 คือ 61
นั้นคือ ค.ร.น.ของ 244
และ 427 คือ
ตอบ 1,708
ในกรณีการหา ค.ร.น. ของจำนวนนับสามจำนวน อาจใช้วิธีเดียวกันกับการหา ห.ร.ม. ของจำนวนนับสามจำนวน คือ
1.
หา ค.ร.น. ของสองจำนวนก่อน
2.
หา ค.ร.น. ของจำนวนที่เหลือกับ ค.ร.น.ที่หาได้ในข้อที่
1 โดย ค.ร.น. ที่หาได้ในข้อที่ 2 เป็น ค.ร.น. ของทั้งสามจำนวน
ตัวอย่างที่ 5 จงหา ค.ร.น. ของ
168,
420 และ 588
วิธีทำ
ขั้นที่1 หา ห.ร.ม. ของ
168
และ 420 โดยใช้ขั้นตอนแบบยูคลิด
|
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 168 และ 420 คือ 84
นั้นคือ ค.ร.น. ของ 168
และ 420 คือ
12
|
|
ดังนั้น
ห.ร.ม. ของ 588 และ 840 คือ
84
นั้นคือ ค.ร.น. ของ 588 และ
840 คือ
ตอบ 5,880
ถ้าเป็นเลขติดลบต้องทำไงหรอคะ
ตอบลบ